Question

（B题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为2

3

，离心率为

3

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A（-1，1），过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由长轴长为2

3

得2a=2

2

①，由离心率为

3

3

得

c

a

=

3

3

②，联立①②解得a，c，由a²=b²+c²可求得b；
（2）分情况讨论：当BC垂直于x轴时，易求得此时△ABC面积；当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入

x2

3

+

y2

2

=1，得x2=

6

2+3k2

，|BC|=2

1+k2

|x|=2

6

•

1+k2 3k2+2

，由点到直线的距离公式可表示出点A到直线BC的距离d，从而S△ABC=

1

2

|BC|•d，根据函数的结构特点换元后利用基本不等式即可求得△ABC面积的最大值，综上可得答案．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由题意，得

2a=2 3 c a = 3 3

，解得

a= 3 c=1

，所以b²=2．
所求的椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）当BC垂直于x轴时，因点A（-1，1），|BC|=2

2

，S△ABC=

2

，
当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入

x2

3

+

y2

2

=1，得x2=

6

2+3k2

，
|BC|=2

1+k2

|x|=2

6

•

1+k2 3k2+2

，又点A到BC的距离d=

|1+k|

1+k2

，
所以S△ABC=

1

2

|BC|•d=

6

•

|k+1|

3k2+2

=

6

•

(k+1)2 3k2+2

=

2

•

1+ 6k+1 3k2+2

，
设6k+1=t，得S△ABC=

2

•

1+ 12t t2-2t+25

=

2

•

1+ 12 t+ 25 t -2

≤

5

，此时k=

2

3

，
综上知当k=

2

3

，时△ABC面积有最大值为

5

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类题目的基础，应熟练掌握．