Question

【题目】已知为椭圆的一个焦点，过原点的直线与椭圆交于两点，且， 的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若，过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意结合椭圆的对称性可知四边形为矩形，由题意得到关于a,b,c的方程组，消元整理可得，则椭圆的离心率

(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论可得椭圆的方程为联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和中点坐标公式可得点横坐标为： ，结合知点横坐标的取值范围为：

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的焦半距为，左焦点为，∵，∴

由椭圆的对称性可知四边形为矩形，

∴

得，由消去上式的得，

即，椭圆的离心率

（Ⅱ）∵的坐标为，由（1）中，∴，

，椭圆的方程为

设直线的斜率为，直线不与坐标轴垂直，故

直线的方程为

将方程与椭圆方程联立得： ，消得：

由韦达定理得： ，设线段中点坐标为，则

，

则垂直平分线的方程为.

令， 点横坐标为：

因为，所以，

故点横坐标的取值范围为：