Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，）的距离比点P到x轴的距离大，设动点P的轨迹为曲线C，直线l：y=kx+1交曲线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N，（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅲ）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F的距离与动点P到直线的距离相等，
由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为y=x²．
（Ⅱ）证明：设，
由，得，
所以，
设，则，
因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为，
由y=x²，可得y′=2x，所以当x=时，y′=k，
所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行．
（Ⅲ）解：由已知，k≠0，设直线l的垂线为l′：，
代入y=x²，可得， （*）
若存在两点关于直线l对称，则，
又在l上，
所以，
由方程（*）有两个不等实根，
所以，即，
所以，解得或。