题目内容
在平面直角坐标系中，已知A（5，0）、B（0，5）、C（cosα，sinα），且α∈（π，2π）．（Ⅰ）若
| AB |
| OC |
（Ⅱ）若
| AC |
| BC |
| 2sin2α-sin2α |
| 2(1+tanα) |
分析：（1）由向量垂直的条件可得
•
=0，利用向量数量积的坐标表示整理可求α
（2）由向量数量积的坐标表示把
•
=2转化可得sinα+cosα=
，sinα•cosα=
，代入求值
| AB |
| OC |
（2）由向量数量积的坐标表示把
| AC |
| BC |
| 1 |
| 5 |
| -12 |
| 25 |
解答：解：（Ⅰ）∵
=(-5， 5)，
=(cosα， sinα)，
而
⊥
，∴
•
=0
代入化简得sinα=cosα又α∈（π，2π），∴α=
；
（Ⅱ）由
•
=2，得（cosα-5）cosα+sinα（sinα-5）=2
∴sinα+cosα=
，∴sinα•cosα=-
，
由于2sinα•cosα=-
＜0，且α∈（π，2π），则α∈(
， 2π)，
∴cosα-sinα=
=
又
=
=
所以
=-
．
| AB |
| OC |
而
| AB |
| OC |
| AB |
| OC |
代入化简得sinα=cosα又α∈（π，2π），∴α=
| 5π |
| 4 |
（Ⅱ）由
| AC |
| BC |
∴sinα+cosα=
| 1 |
| 5 |
| 12 |
| 25 |
由于2sinα•cosα=-
| 24 |
| 25 |
| 3π |
| 2 |
∴cosα-sinα=
| (sinα+cosα)2-4sinαcosα |
| 7 |
| 5 |
又
| 2sin2α-sin2α |
| 2(1+tanα) |
| 2sin2α-2sinαcosα | ||
2(1+
|
| -sinαcosα(cosα-sinα) |
| sinα+cosα |
所以
| 2sin2α-sin2α |
| 2(1+tanα) |
| 84 |
| 25 |
点评：本题综合考查平面向量的数量积的坐标表示，以向量数量积的坐标表示为载体考查三角函数的基本运算、基本公式的灵活变形，要注意转化思想的运用．
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