Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其左视图沿AB方向投影，左视图如图．
（1）证明：AC₁⊥B₁C；
（2）当AC₁长为

6

时，求多面体B₁-ABC₁D₁的体积．

Answer 1

分析：（1）根据长方体的几何特征及正方形对角线互相垂直，结合线面垂直的判定定理可得B₁C⊥平面ABC₁，进而根据线面垂直的定义得到AC₁⊥B₁C；
（2）根据三视图中棱长，及AC₁=

6

，可求出棱AB的长度，进而求出多面体B₁-ABC₁D₁的底面面积和高，代入棱锥体积公式可得答案．

解答：证明：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面BB₁C₁C，B₁C?平面BB₁C₁C，
∴AB⊥B₁C
又∵由左视图知平面BB₁C₁C为正方形
∴B₁C⊥BC₁，
又∵BC₁，AB?平面ABC₁，BC₁∩AB=B
∴B₁C⊥平面ABC₁，
而AC₁?平面ABC₁，
∴AC₁⊥B₁C．…..（6分）
（2）由AC₁=

6

=

12+12+AB2

得
AB=2，
∴矩形ABC₁D₁的面积S=2

2

，
由（1）中B₁C⊥平面ABC₁，
则B₁C即为平面ABC₁D₁上的高，
又∵B₁C=

2

，
∴多面体B₁-ABC₁D₁的体积V=

1

3

S•B₁C=

2

3

．…..（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定和性质，棱锥的体积，熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直之间的转化是解答的关键．