题目内容

已知向量
.
a
=（Asin
x
3
，Acos
x
3
），
.
b
=（cos
π
6
，sin
π
6
）函数f（x）=
.
a
•
.
b
（A＞0，x∈R），且f（2π）=2．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，f（3α+π）=
16
5
，f（3β+
5π
2
）=-
20
13
，求cos（α+β）的值．
分析：（1）利用向量的数量积和两角和的正弦公式即可得出；
（2）利用诱导公式、平方关系、两角和的余弦公式即可得出．
解答：解：（1）依题意得f（x）=Asin
x
3
cos
π
3
+Acos
x
3
sin
π
6
=Asin(
x
3
+
π
6
)，
∵f（2π）=2，∴Asin(
2π
3
+
π
6
)=2，∴Asin
5π
6
=2，解得A=4．
∴f（x）=4sin(
x
3
+
π
6
)．
（2）由f(3α+π)=
16
5
，得4sin(
3α+π
3
+
π
6
)=
16
5
，即4sin(α+
π
2
)=
16
5
，
∴cosα=
4
5

又∵α∈[0，
π
2
]，∴sinα=
1-(
4
5
)2
=
3
5
，
由f(3β+
5π
2
)=-
20
13
，得4sin(
3β+
5π
2
3
+
π
6
)=-
20
13
，即sin(β+π)=-
5
13
．
∴sinβ=
5
13
，
又∵β∈[0，
π
2
]，∴cosβ=
1-(
5
13
)2
=
12
13
，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=
4
5
×
12
13
-
3
5
×
5
13
=
33
65
．
点评：熟练掌握向量的数量积运算和两角和的正弦公式、诱导公式、平方关系、两角和的余弦公式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
（2012•大连二模）已知向量
a
，
b
满足
a
=（-2sinx，
3
cosx+
3
sinx），
b
=（cosx，cosx-sinx），函数，f（x）=
a
•
b
（x∈R）．
（I）将f（x）化成Asin（（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π的形式；
（Ⅱ）已知数列an=
n
2
 
f(
nπ
2
-
11π
24
)(n∈N*)，求{an}的前2n项和S2n．
（2012•潍坊二模）已知向量
a
=（Asinωx，Acosωx），
b
=（cosθ，sinθ），f（x）=
a
•
b
+1，其中A＞0、ω＞0、θ为锐角．f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为
π
2
，且当x=
π
12
时，f（x）取得最大值3．
（I）求f（x）的解析式；  
（II）将f（x）的图象先向下平移1个单位，再向左平移?（?＞0）个单位得g（x）的图象，若g（x）为奇函数，求?的最小值．
已知向量
a
=(sin
x
3
，
3
cos
x
3
)，
b
=(1，1)，函数f(x)=
a
•
b
cos
x
3
．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其图象的对称中心；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f（x）的值域．
已知向量
a
=（Asinωx，Acosωx），
b
=（cosθ，sinθ），f（x）=
a
•
b
+1，其中A＞0、ω＞0、θ为锐角．f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为
π
2
，且当x=
π
12
时，f（x）取得最大值3．
（I）求f（x）的解析式；  
（II）将f（x）的图象先向下平移1个单位，再向左平移?（?＞0）个单位得g（x）的图象，若g（x）为奇函数，求?的最小值．
已知向量
a
=(sin
x
3
，
3
cos
x
3
)，
b
=(1，1)，函数f(x)=
a
•
b
cos
x
3
．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其图象的对称中心；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

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