Question

已知双曲线C的方程为（a>0，b>0），右准线方程为x=，右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为。
（1）求双曲线C的方程；
（2）双曲线C上是否存在A，B两点，使得原点O到直线AB的距离为？若存在，求|AB|的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵右准线方程为，
∴
又∵右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为
∴
∴
∴
∴双曲线C的方程为。
（2）假设存在A，B两点，使得原点O到直线AB的距离为。
①当AB⊥x轴时，
∵原点O到直线AB的距离为
∴或
∴。
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m
由得
则△=
即
设，
由根与系数的关系得
∴

∵原点O到直线AB的距离为
∴
∴m²=
∵
∴
∴k∈R
∴
当k≠0时

当k=0时，
∴。