Question

已知函数：f（x）=x²+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：

f(2)≤12 f(-1)≤3

的事件为A，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析：根据二次函数解析式，可得事件A对应的不等式为：

2b+c≤8 b-c≥2

，因此在同一坐标系内作出不等式组

0≤b≤4  0≤c≤4

和

2b+c≤8 b-c≥2

对应的平面区域，分别得到正方形ODEF和四边形OHGF，如图所示．最后算出四边形OHGF与正方形ODEF的面积之比，即可得到事件A发生的概率．

解答：解：∵f（x）=x²+bx+c，
∴由不等式

f(2)≤12 f(-1)≤3

，即

4+2b+c≤12 1-b+c≤3

，
整理得：

2b+c≤8 b-c≥2

，
以b为横坐标、a为纵坐标建立直角坐标系，
将不等式组

0≤b≤4  0≤c≤4

和

2b+c≤8 b-c≥2

对应的平面区域作出，如图所示
不等式组

0≤b≤4  0≤c≤4

对应图中的正方形ODEF，其中
D（0.4），E（4，4），F（4，0），O为坐标原点，可得S_{正方形ODEF}=4×4=16
不等式组

2b+c≤8 b-c≥2

对应图中的四边形OHGF，
可得S_{四边形OHGF}=S_{正方形ODEF}-S_△DHG-S_△EFG=16-2-4=10
故满足事件A的区域的面积为：S(a)=16-

1

2

×2×2-

1

2

×2×4=10，
而满足所有条件的区域Ω的面积：S（Ω）=16
∴事件A发生的概率为：P(A)=

S(a)

S(Ω)

=

10

16

=

5

8

，
答：满足事件A的概率为 

5

8

点评：本题以二次函数与不等式的运算为载体，求事件A发生的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．