Question

【题目】已知函数．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若恰有两个极值点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，为常数函数，无单调性；当时，单调增区间是，单调减区间是；当时，单调增区间是，单调减区间是；（2）.

【解析】

（1）先求导，对分类讨论，即可求解；

（2）函数有两个极值点，转化为导函数在定义域内有两个不同的零点，通过分离参数，构造新函数，把两个零点转为新函数的图像与直线有两个交点，利用求导作出新函数的图像，即可求解.

（1）的定义域为，

，

当时，为常数函数，无单调性；

当时，令；

当时，令；

综上所述，当时，为常数函数，无单调性；

当时，单调增区间是，单调减区间是；

当时，单调增区间是，单调减区间是；

（2）由题意，的定义域为，

且，若在上有两个极值点，

则在上有两个不相等的实数根，

即 ①有两个不相等的正的实数根，

当时，不是的实数根，

当时，由①式可得，

令，，

单调递增，又；

单调递增，且；

单调递减，且；

因为；

所以左侧，；

右侧，；

，；

所以函数的图像如图所示：

要使在上有两个不相等的实数根，

则

所以实数的取值范围是.