Question

在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，．过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，．记点T的轨迹为曲线C，点A(5，0)、B(1，0)，过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间)．

(1)求曲线C的方程；

(2)证明不存在直线l，使得|BP|＝|BQ|；

(3)过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设点T的坐标为，点M的坐标为，则M1的坐标为(0，)，，于是点N的坐标为，N1的坐标为，所以 　　由 　　由此得 　　由 　　即所求的方程表示的曲线C是椭圆．　3分 　　(2)点A(5，0)在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l斜率存在，并设为k．直线l的方程为 　　由方程组 　　依题意 　　当时，设交点PQ的中点为， 　　则 　　 　　又 　　 　　而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|＝|BQ|．　7分 　　(3)由题意有，则有方程组 　　　由(1)得　(5) 　　将(2)，(5)代入(3)有 　　整理并将(4)代入得， 　　易知 　　因为B(1，0)，S，故，所以 　　 　　　13分