Question

在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，，．过点M作MM₁⊥轴于M₁，过N作NN₁⊥轴于点N₁，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）证明不存在直线，使得；

（Ⅲ）过点P作轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C的方程：  （2）同解析  （3）同解析 

解析:

（1）解：设点T的坐标为，点M的坐标为，则M₁的坐标为

  ∴点N的坐标为       

∴N₁的坐标为      ∴   

由有   

∴      由此得                          

由有

∴      即，即为所求的方程．曲线C为椭圆．  

（2）证：点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C无交点，所以直线斜率存在，并设为．直线的方程为．     

由方程组     得     

依题意，得．             

当时，设交点，PQ的中点为R，则

，        

∴                      

又BR⊥

       

但不可能成立，所以不存在直线使得．  

（3）证明：由题有S，．

则有方程组                          

由（1）得：

将（2）、（5）代入（3）有

整理并将（4）、（5）代入得  

易知，解得                                        

因，故，，

∴

∴．