Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x，y）（x≠0）作斜率为k₁，k₂的两条直线分别交抛物线C于
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）得，焦点坐标为，准线方程为．
（Ⅱ）设直线PA的方程为y-y=k₁（x-x），直线PB的方程为y-y=k₁（x-x）．点P（x，y）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组的解．于是，故，又点P（x，y）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组的解．于是，故．由此能够证明线段PM的中点在y轴上．
解答：解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）得，焦点坐标为，准线方程为．
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y-y=k₁（x-x），直线PB的方程为y-y=k₁（x-x）．
点P（x，y）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组的解．
将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x-y=0，于是，故③
又点P（x，y）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组的解．
将⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x-y=0．于是，故．
由已知得，k₂=-λk₁，则． ⑥
设点M的坐标为（x_M，y_M），由，则．
将③式和⑥式代入上式得，即x_M+x=0．
∴线段PM的中点在y轴上．
点评：本题考查抛物线的焦点坐标和准线方程的求法，证明线段PM的中点在y轴上．解题时要熟练掌握抛物线的性质，认真审题，合理地进行等价转化．