Question

已知函数f(x)=

ax+1

x+2

（a为常数）
（1）若a=0，试判断f（x）的单调性；
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入函数解析式，化简解析式到最简形式后，进行分析．即可．
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，任取0≤x₁＜x₂＜+∞，则f(x1)-f(x2)=

(1-2a)(x2-x1)

(x1+2)(x2+2)

＜0 恒成立．

解答：解：（1）当a=0时，f(x)=

1

x+2

，f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上均为单调递减
（2）任取0≤x₁＜x₂＜+∞，则f(x1)-f(x2)=

(1-2a)(x2-x1)

(x1+2)(x2+2)

＜0恒成立，
∵0≤x1＜x2∴

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

＞0?1-2a＜0?a＞

1

2

，
实数a的取值范围是 （

1

2

，+∞）

点评：本题考查函数的单调性及单调区间，以及利用函数的单调性求参数的取值范围．