Question

求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过某一定点．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由所给的直线方程可知，当m取不同的实数时，对应的直线方程不同，因此所给的方程是以m为参数的直线方程．直线过定点，即与参数m的取值无关，则参数m的同次幂的系数为0，从而可求出定点．本题也可以分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程，若满足题意，则此点为定点． 　　证明：原方程可写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0， 　　因为m为任意实数时，该式恒成立， 　　所以 　　所以，m为任意实数时，所给直线恒过定点(9，－4)． 　　点评：此证法的优点在于利用恒成立思想，转化角度，将原方程看成关于m的方程，通过解方程组求解．而利用特殊值的思想则是解决一般性的问题，在取值上尽量使方程简洁、易于计算，注意不能忽略代入验证． 　　综上可知，两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解紧密相连．通过方程组的解的个数来判断两条直线的位置关系，充分体现了用方程研究直(曲)线、用代数方法解决几何问题的思想．