Question

【题目】已知数列 的前 项和为 ，并且满足 ， .

（1）求数列 通项公式；

（2）设 为数列 的前 项和，求证： .

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据题意得到， ，两式做差得到；（2）根据第一问得到，由错位相减法得到前n项和，进而可证和小于1.

解析：

（1）∵

当 时，

当时， ，即

∴数列 时以 为首项， 为公差的等差数列.

∴ .

（2）∵

∴ ①

②

由① ②得

∴

点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知 ， 分别是椭圆 ： （ ）的左、右焦点， 是椭圆 上的一点，且 ，椭圆 的离心率为 .

（1）求椭圆 的标准方程；

（2）若直线 ： 与椭圆 交于不同两点 ， ，椭圆 上存在点 ，使得以 ， 为邻边的四边形 为平行四边形（ 为坐标原点）.

（ⅰ）求实数 与 的关系；

（ⅱ）证明：四边形 的面积为定值.

Answer 1

【答案】(1) (2)①② 四边形 的面积为定值，且定值为

【解析】试题分析：（1）根据题意得到， ，椭圆的标准方程为；（2）联立直线和椭圆方程得到二次方程，根据题意得到，由韦达定理得到P点坐标，再根据点在椭圆上得到参数值关系；（3）先由弦长公式得到，由点线距得到三角形高度，再根据四边形面积公式，进而得到定值.

解析：

（1）依题意， ，即 .

又 ，∴

∴

故椭圆的标准方程为

（2）（ⅰ）由 消 得 .

则

设 ， ，则 ， .

∴

∵四边形 为平行四边形.

∴

∴点 坐标为

∵点 在椭圆 上，

∴ ，整理得

（ⅱ）∵

又点 到直线 ： 的距离为

∴四边形 的面积

故四边形 的面积为定值，且定值为 .