题目内容
在四棱锥中，其底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，不通过此棱的一个侧面与底面所成的二面角为45°，且最长的侧棱长为15cm，则棱锥的高为 ．
【答案】分析：在四棱锥S-ABCD中，由SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，二面角S-BC-D是45°的二面角，知∠SCD=45°，设正方形ABCD的边长是a，则SD=CD=a，BD=
，由SD⊥BD，SB=15，知a2+2a2=225，由此能求出棱锥的高．
解答：
解：如图，SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，二面角S-BC-D是45°的二面角，
∵SD⊥面ABCD，BC⊥DC，
∴BC⊥面SDC，
∴SC⊥DC，
∴∠SCD是二面角S-BC-D的平面角，
∴∠SCD=45°，
设正方形ABCD的边长是a，则SD=CD=a，BD=
，
∵SD⊥BD，SB=15，
∴a2+2a2=225，解得a=5
．
故棱锥的高为
．
故答案为：
．
点评：本题考查棱锥的高的求法，考查二面角的性质和应用，解题时要认真审题，注意三垂线定理的性质和应用．
，由SD⊥BD，SB=15，知a2+2a2=225，由此能求出棱锥的高．解答：
解：如图，SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，二面角S-BC-D是45°的二面角，∵SD⊥面ABCD，BC⊥DC，
∴BC⊥面SDC，
∴SC⊥DC，
∴∠SCD是二面角S-BC-D的平面角，
∴∠SCD=45°，
设正方形ABCD的边长是a，则SD=CD=a，BD=
，∵SD⊥BD，SB=15，
∴a2+2a2=225，解得a=5
．故棱锥的高为
．故答案为：
．点评：本题考查棱锥的高的求法，考查二面角的性质和应用，解题时要认真审题，注意三垂线定理的性质和应用．
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