题目内容
已知a、b、c∈R,求证:a2+3b2+c2≥3ab+3bc-ca,并说明等号何时成立.
证法一:由a2+3b2+c2-3ab-3bc+ca=a2-(3b-c)a+(3b2-3bc+c2)=(a-
)2+
=(a-
)2+
≥0,
得a2+3b2+c2≥3ab+3bc-ca,
当且仅当a=
且b=c,
即a=b=c时,等号成立.
证法二:令f(a)=a2+3b2+c2-3ab-3bc+ca=a2-(3b-c)a+(3b2-3bc+c2),
则f(a)是a的二次函数,且二次项系数为正.
由于Δ=(3b-c)2-4(3b2-3bc+c2)=-3b2+6bc-3c2=-3(b-c)2≤0,对一切b、c∈R恒成立,因此f(a)≥0对一切a∈R恒成立.
所以a2+3b2+c2≥3ab+3bc-ca.
当且仅当b=c时,Δ=0,这时a=
=b,故等号在a=b=c时成立.
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