Question

已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）若函数在上为增函数，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求导数，及其零点，判断导数符号变化，即可得原函数增减变化，可得其极值。（Ⅱ）函数在是增函数，转化为，对恒成立问题。即的最小值大于等于0.将问题最终转化为求的最小值问题。仍用导数求单调性，用单调性求最值的方法求的最小值。所以需设函数，对函数重新求导，求极值。判断导数符号变化，得的增减区间，的最小值。

试题解析：解：（Ⅰ）定义域．

当时，，．

令，得．

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

所以函数的极小值是． 5分

（Ⅱ）由已知得．

因为函数在是增函数，所以，对恒成立．

由得，即对恒成立．

设，要使“对恒成立”，只要．

因为，令得．

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

所以在上的最小值是．

故函数在是增函数时，实数的取值范围是 13分

考点：1函数的概念和性质；2导数和利用导数研究函数性质。