Question

已知函数，（为常数，为自然对数的底）．

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若在时取得极小值，试确定的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（ 为确定的常数）相切，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，．．

所以．

（Ⅱ）

．

令，得或．

当，即时，

恒成立，

此时在区间上单调递减，没有极小值；

当，即时，

若，则．若，则．

所以是函数的极小值点．

当，即时，

若，则．若，则．

此时是函数的极大值点．

综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当，且时，，

因此是的极大值点，极大值为．

所以． ．

令．

则恒成立，即在区间上是增函数．

所以当时，，即恒有．

又直线的斜率为，

所以曲线不能与直线相切．