Question

已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

Answer 1

思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决.

解法1：

根据|a|=|b|,有|a|²=|b|².

又由|b|=|a-b|,得|b|²=|a|²-2a·b+|b|²,

∴a·b=|a|².

而|a+b|²=|a|²+2a·b+|b|²=3|a|²,

∴|a+b|=|a|.

设a与a+b的夹角为θ，则

cosθ=.

∴θ=30°

解法2：

设向量a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂).

∵|a|=|b|,∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂².

由|b|=|a-b|,得x₁x₂+y₁y₂=(x₁²+y₁²).

即a·b=(x₁²+y₁²).

由|a+b|²=2(x₁²+y₁²)+2×(x₁²+y₁²)=3(x₁²+y₁²),得|a+b|=.

设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=.

∴θ=30°.

解法3：根据向量加法的几何意义，作图如下图

在平面内任取一点O，作=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB.

∵|a|=|b|,即||=||，

∴平行四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB.

这时=a+b，=a-b.

而|a|=|b|=|a-b|,

即||=||=||.

∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°.

于是∠AOC=30°,即a与a+b的夹角为30°.

温馨提示

    基于平面向量的表示上的差异,也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同解法.对于本题的三种解法都要认真理解.