Question

由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃、a₂₁+a₂₂+a₂₃、a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，下列四个判断正确的有（ ）
①第2列a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；       
②第1列a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；
③a₁₂+a₃₂＞a₂₁+a₂₃；
④若9个数之和等于9，则a₂₂＜1．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer 1

【答案】分析：先由题意设列出由9个正数组成的矩阵是：，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，则有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），得到③④正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可．
解答：解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列
则有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正确；
（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），故③正确；
再题意设由9个正数组成的矩阵是：，故②正确；
对于④，若9个数之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，
∴b+m+a+d+c+n=3，
∴b+m=3-（a+d+c+n）≤3-2 =3-2（b+m），
∴b+m≤1，即a₂₂≤1，故④正确；
其中正确的序号有①②③④．
故选A．
点评：本小题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．