题目内容
（2012•徐汇区一模）由9个互不相等的正数组成的矩阵
中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13、a21+a22+a23、a31+a32+a33成等比数列，下列四个判断正确的有（ ）
①第2列a12，a22，a32必成等比数列；
②第1列a11，a21，a31不一定成等比数列；
③a12+a32＞a21+a23；
④若9个数之和等于9，则a22＜1．
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①第2列a12，a22，a32必成等比数列；
②第1列a11，a21，a31不一定成等比数列；
③a12+a32＞a21+a23；
④若9个数之和等于9，则a22＜1．
分析：先由题意设列出由9个正数组成的矩阵是：
，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2
=2（b+m），得到③④正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可．
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| (a+d)(c+n) |
解答：解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：
，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列
则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），故①正确；
（a+d）+（c+n）≥2
=2（b+m），故③正确；
再题意设由9个正数组成的矩阵是：
，故②正确；
对于④，若9个数之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，
∴b+m+a+d+c+n=3，
∴b+m=3-（a+d+c+n）≤3-2
=3-2（b+m），
∴b+m≤1，即a22≤1，故④正确；
其中正确的序号有①②③④．
故选A．
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则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），故①正确；
（a+d）+（c+n）≥2
| (a+d)(c+n) |
再题意设由9个正数组成的矩阵是：
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对于④，若9个数之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，
∴b+m+a+d+c+n=3，
∴b+m=3-（a+d+c+n）≤3-2
| (a+d)(c+n) |
∴b+m≤1，即a22≤1，故④正确；
其中正确的序号有①②③④．
故选A．
点评：本小题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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