Question

已知圆系的方程为x²+y²-2acosφ·x-2asinφ·y=0(a＞0).

(1)求圆系圆心的轨迹方程;

(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.

Answer 1

解:(1)将圆系方程配方:(x-acosφ)²+(y-asinφ)²=a².

所以圆心的轨迹的参数方程为(φ为参数).

消去φ,得x²+y²=a².

(2)两圆公共弦所在直线方程由方程组

求得2axcosφ+2aysinφ-a²=0,圆x²+y²=a²圆心为(0,0),弦心距d=.

定圆的弦心距为定值,则弦长为定值,这个定值为d=a.