Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）双曲线与椭圆C具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，求双曲线的方程；
（2）设椭圆C的右焦点为F₂，A、B是椭圆上的点，且

AF2

=2

F2B

，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆方程求得其焦点坐标和离心率，进而可得双曲线的焦点坐标和离心率，求得双曲线的长半轴和短半轴的长，进而可得双曲线的方程．
（2）设A（x₁，y₁），由

AF2

=2

F2B

得出B的坐标表示，再由A，B两点在椭圆上，得出关于x₁，y₁的方程，解得x₁，y₁最后利用直线的斜率公式即可．

解答：解：（1）由已知，椭圆的焦点坐标为（-1，0），（1，0），离心率为

1

2

，
所以所求双曲线焦点坐标为（-1，0），（1，0），离心率为2，…（2分）
双曲线c=1， 

c

a

=2，解得a2=

1

4

， b2=

3

4

，
所求双曲线方程为4x2-

4y2

3

=1．…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），由

AF2

=2

F2B

得B(

3-x1

2

，-

y1

2

)，…（5分）
由A，B两点在椭圆上，得

x12

4

+

y12

3

=1，

(3-x1)2

4

+

y12

3

=4，…（8分）
解得x1=-

1

2

，y1=±

3

4

5

，…（10分）
所以k=

y1

x1-1

=±

5

2

．…（12分）

点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质，解答直线AB的斜率的关键是利用方程组思想．