Question

（2012•成都模拟）设函数f（x）=-

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x3+2ax²-3a²x+b（常数a，b满足0＜a＜1，b∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意的x∈[a+1，a+2]，不等式|f'（x）|≤a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令导数大于0，可得函数的单调增区间；令导数小于0，可得函数的单调减区间，从而可得函数的极值；
（2）将条件转化为不等式，利用函数的单调性确定函数的最值，进而可得不等式组，由此可求a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=-x²+4ax-3a²，令f′（x）＞0，得f（x）的单调递增区间为（a，3a）．
令f′（x）＜0，得f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和 （3a，+∞）；
∴当x=a时，f（x）极小值=-

4

3

a3+b；当x=3a时，f（x）极大值=b．
（2）由|f′（x）|≤a，得-a≤-x²+4ax-3a²≤a．①
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a．
∴f′（x）=-x²+4ax-3a²在[a+1，a+2]上是减函数．
∴f′（x）_max=f′（a+1）=2a-1，f′（x）_min=f（a+2）=4a-4．
于是，对任意x∈[a+1，a+2]，不等式①恒成立等价于

-a≤4a-4 a≥2a-1

　　　解得

4

5

≤a≤1
又0＜a＜1，∴

4

5

≤a＜1

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的最值，考查恒成立问题，正确运用函数的单调性是解题的关键．