题目内容

（2012•茂名二模）在平面直角坐标系xoy中，动点P在椭圆C1：
x2
2
+y2=1上，动点Q是动圆C2：x2+y2=r2（1＜r＜2）上一点．
（1）求证：动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）设椭圆C1上的三点A（x1，y1），B（1，
2
2
），C（x2，y2）与点F（1，0）的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点为？请说明理由．
（3）若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．
分析：（1）设动点P（x0，y0），则
x02
2
+y02=1，根据两点间距离公式、点到直线的距离公式即可计算得到右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）由（1）结论可用离心率及点A、B、C横坐标表示|AF|、|BF|、|CF|，由其成等差数列可得x1+x2=2，由A，C在椭圆上得
x12
2
+y12=1，
x22
2
+y22=1，两式相减整理得直线AC斜率，设线段AC的中点（m，n），由点斜式可得AC垂直平分线方程，由中点坐标公式可把该垂直平分线方程化为知含参数n的方程，据此可得定点．
（3）易知直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由
y1=kx1+m
x12
2
+y12=1
得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ，由直线与椭圆相切得△=0，x1=-
2k
m
①，由直线PQ与圆C2相切，则
|m|
1+k2
=r②，联立①②可消掉m，由勾股定理可把|PQ|2表示为r的函数，再用基本不等式可得其最大值；
解答：（1）证明：设动点P（x0，y0），则
x02
2
+y02=1，
右焦点的距离与到直线x=2的距离之比为：
(x0-1)2+y02
|x0-2|
=
(x0-1)2+y02
(x0-2)2
=
(x0-1)2+1-
x02
2
(x0-2)2
=
2
2
，
而a=
2
，c=1，所以离心率e=
2
2
，
故动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）由（1）可得|AF|=
2
2
(2-x1)，|BF|=
2
2
(2-1)，|CF|=
2
2
(2-x2)，
因为2|BF|=|AF|+|CF|，
所以
2
2
(2-x1)+
2
2
(2-x2)=2×
2
2
(2-1)，即得x1+x2=2，
因为A，C在椭圆上，故有
x12
2
+y12=1，
x22
2
+y22=1，两式相减整理得：
kAC=
y2-y1
x2-x1
=-
x2+x1
2(y2+y1)
=-
1
y2+y1
，
设线段AC的中点（m，n），而m=
x1+x2
2
=1，n=
y1+y2
2
，
所以与直线AC垂直的直线斜率为k′AC=y2+y1=2n，
则AC垂直平分线方程为y-n=2n（x-1），即y=n（2x-1）经过定点（
1
2
，0）；
（3）依题意知，直线PQ的斜率显然存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于直线方程PQ与椭圆C1相切，点P为切点，从而有
由
y1=kx1+m
x12
2
+y12=1
得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ，
故△=（4km）2-4×2（m2-1）（2k2+1）=0，从而可得m2=1+2k2，x1=-
2k
m
①，
直线PQ与圆C2相切，则
|m|
1+k2
=r，得m2=r2（1+k2）②，
由①②得k2=
r2-1
2-r2
，且|PQ|2=|OP|2-|OQ|2=x12+y12-r2=x12+（1-
x12
2
）-r2
=1+
x12
2
-r2=1+
2k2
1+2k2
-r2=3-r2-
2
r2
≤3-2
2
=(
2
-1)2，即|PQ|≤
2
-1，
当且仅当r2=
2
∈(1，4)时取等号，
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值为
2
-1．
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性强，难度大．
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3
2
2
+1
3
2
2
+1
．
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3
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x
3
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3
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x
3
．
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c
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b+m
＞
a
b
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