Question

定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（Ⅰ）求证f（x）为奇函数；

（Ⅱ）若f（）+f（3-9-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），　　 ①

令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．

令y=-x，代入①式，得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有

0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．

（Ⅱ）解：因为f（x）在R上是增函数，又由（Ⅰ）f（x）是奇函数．

f（）＜-f（3-9-2）=f（-3+9+2），  ＜-3+9+2，

3-（1+k）+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．

，其对称轴为

 

    解得：

综上所述，当时，f（）+f（3-9-2）＜0对任意x∈R恒成立

法二：由＜-3+9+2得

，即u的最小值为，要使对x∈R不等式恒成立，只要使