Question

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别是E，F，则的最小值是（ ）
A．12
B．10
C．6
D．5

Answer 1

【答案】分析：由两圆的圆心距|CM|=5大于两圆的半径之和可得两圆相离，如图所示，则的最小值是，利用
 两个向量的数量积的定义求出的值，即为所求．
解答：解：（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径等于2，
圆M  （x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1，
圆心M（2+5cosθ，5sinθ），半径等于1．
∵|CM|==5＞2+1，故两圆相离．
∵=•cos∠EPF，要使   最小，需 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆M交于H、G两点，则的最小值是．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|===2，
sin∠CHE==，
∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin²∠CHE=，
∴=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2×2×=6，
故选 C．
点评：本题考查两圆的位置关系，两圆的切线，两个向量的数量积的定义，二倍角的余弦公式，体现了数形结合的数学思想，判断的最小值是，是解题的关键，属于基础题．