题目内容
（2009•湖北模拟）圆C的方程为（x-2）2+y2=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别是E，F，则
•
的最小值是（ ）
| PE |
| PF |
分析：由两圆的圆心距|CM|=5大于两圆的半径之和可得两圆相离，如图所示，则
•
的最小值是
•
，利用
两个向量的数量积的定义求出
•
的值，即为所求．
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
两个向量的数量积的定义求出
| HE |
| HF |
解答：
解：（x-2）2+y2=4的圆心C（2，0），半径等于2，
圆M （x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1，
圆心M（2+5cosθ，5sinθ），半径等于1．
∵|CM|=
=5＞2+1，故两圆相离．
∵
•
=|
|•
•cos∠EPF，要使
•
最小，需|
| 和
最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆M交于H、G两点，则
•
的最小值是
•
．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|=
=
=2
，
sin∠CHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin2∠CHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=6，
故选 C．
解：（x-2）2+y2=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M （x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1，
圆心M（2+5cosθ，5sinθ），半径等于1．
∵|CM|=
| (5cosθ)2+(5sinθ)2 |
∵
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
如图所示，设直线CM 和圆M交于H、G两点，则
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|=
| |HC|2-|CE|2 |
| 16-4 |
| 3 |
sin∠CHE=
| |CE| |
| |CH| |
| 1 |
| 2 |
∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin2∠CHE=
| 1 |
| 2 |
∴
| HE |
| HF |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
故选 C．
点评：本题考查两圆的位置关系，两圆的切线，两个向量的数量积的定义，二倍角的余弦公式，体现了数形结合的数学思想，判断
•
的最小值是
•
，是解题的关键，属于基础题．
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
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