Question

解下列不等式
（1）（x-3）（x-7）＜0；                       
（2）4x²-20x＜25；
（3）-3x²+5x-4＞0；                         
（4）x（1-x）＞x（2x-3）+1．
（5）

x+2

1-x

＜0；
（6）

x+1

x-2

≤2．

Answer 1

分析：解一元二次不等式求得（1）、（2）、（3）、（4）的解集．对于（5）、（6），解分式不等式，把它们化为与之等价的一元二次不等式，从而求得它们的解集．

解答：解：（1）由（x-3）（x-7）＜0，解得 3＜x＜7，故不等式的解集为{x|3＜x＜7 }．                   
（2）由4x²-20x＜25可得 4x²-20x-25＜0，即 （2x-5）²＜0，∴x∈∅，即不等式的解集为∅．
（3）由-3x²+5x-4＞0可得  3x²-5x+4＜0，由于判别式△=25-48=-23＜0，
故不等式无解，即不等式的解集为∅．                  
（4）由x（1-x）＞x（2x-3）+1可得 （x-1）（3x-1）＜0，解得

1

3

＜x＜1，故不等式的解集为{x|

1

3

＜x＜1 }．
（5）由

x+2

1-x

＜0可得

x+2

x-1

＞0，即（x+2）（x-1）＞0，解得 x＜-2，或 x＞1，故不等式的解集为{x|x＜-2，或 x＞1}．
（6）由

x+1

x-2

≤2 可得

5-x

x-2

≤0，即

x-5

x-2

 ≥0，即（x-5）（x-2）＞0，或 x=5．
解得 x≥5，或 x＜2，故不等式的解集为 {x|x≥5，或 x＜2}．

点评：本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．