Question

（本小题满分16分）

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，⊙O：x²＋y²＝b²，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点．点P是⊙O上的动点．

（1）若P(－1，)，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；

（2）是否存在这样的椭圆C，使得是常数？

如果存在，求C的离心率；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵P(－1，)在⊙O：x²＋y²＝b²，∴b²＝4．     ……………………………2分

又∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OP，∴·＝0，

即(－1，)·(－1＋a，)＝0，解得a＝4．                     

∴椭圆C的方程为＋＝1．                     ……………………………5分

（2）设F(c，0)，c²＝a²－b²，

设P(x₁，y₁)，要使得是常数，则有(x₁＋a)²＋y₁²＝l[(x₁＋c)²＋y₁²]，l是常数．

即b²＋2ax₁＋a²＝l(b²＋2cx₁＋c²)，                  ……………………………8分

比较两边， b²＋a²＝l(b²＋c²)，a＝lc，             ……………………………10分

   故cb²＋ca²＝a(b²＋c²)，即ca²－c³＋ca²＝a³，

即e³－2 e＋1＝0，                               ……………………………12分

 (e－1)( e²＋e－1)＝0，符合条件的解有e＝，

即这样的椭圆存在，离心率为．              ……………………………16分