Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为　　．

Answer 1

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．

专题：

计算题．

分析：

由曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），知y′=（n+1）xⁿ，故f′（1）=n+1，所以曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=，故a_n=lgn﹣lg（n+1），由此能求出a₁+a₂+…+a₉₉．

解答：

解：∵曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），

∴y′=（n+1）xⁿ，∴f′（1）=n+1，

∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），

该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=，

∵a_n=lgx_n，

∴a_n=lgn﹣lg（n+1），

∴a₁+a₂+…+a₉₉=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）

=lg1﹣lg100=﹣2．

故答案为：﹣2．

点评：

本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．