Question

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程及f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

（1）当a=-1时，f(x)=x2+lnx，f′(x)=2x+

1

x

，（1分）
∴f'（1）=3．
函数f（x）在点x=1处的切线方程为y-1=3（x-1），即y=3x-2（3分）
当x＞0时，f′(x)=2x+

1

x

＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（x）的定义域为（0，+∞），则函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），不存在递减区间．（5分）
（2）函数f（x）=x²-alnx（a∈R）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x-

a

x

，（6分）
①当a≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；函数f（x）无极值（8分）
②当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞

2a

2

，（9分）
由f'（x）＜0，得0＜x＜

2a

2

，（10分）
∴当x=

2a

2

时，f（x）有极小值f(

2a

2

)=

1

2

a(1-lna+ln2)（11分）
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极小值

1

2

a(1-lna+ln2)，无极大值（12分）