Question

已知数列{a_n}的首项a₁=4，且

1

an

-

1

an+1

=

1

4n(n+1)

（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和S_n=2-b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设cn=an2•bn，证明：当且仅当n≥3时，c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中

1

an

-

1

an+1

=

1

4n(n+1)

，利用裂项相消法可得

1

a1

-

1

an

=

1

4

(1-

1

n

)，结合a₁=4，可得数列{a_n}的通项公式，由数列{b_n}的前n项和S_n=2-b_n，根据n≥2时，S_n-1=2-b_n-1，易得数列为等比数列，求出首项后，可得数列{b_n}的通项公式
（2）由（1）中数列{a_n}和{b_n}的通项公式；求出数列{C_n}的通项公式，作差C_n+1-C_n并化简，易得当n＜3时，C_n+1-C_n＞0，当n≥3时，C_n+1-C_n＜0，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）∵

1

an

-

1

an+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

×

(n+1)-n

n(n+1)

=

1

4

×(

1

n

-

1

n+1

)
∴(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+(

1

a3

-

1

a4

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)=

1

4

×(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=

1

4

(1-

1

n

)
即

1

a1

-

1

an

=

1

4

(1-

1

n

)
又∵a₁=4，
∴a_n=4n，
∵数列{b_n}的前n项和S_n=2-b_n…①
当n≥2时，S_n-1=2-b_n-1…②
①-②得b_n=b_n-1-b_n，
即

bn

bn-1

=

1

2

又∵n=1时，S₁=2-b₁=b₁，
∴b₁=1
故数列{b_n}是一个以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列
故b_n=2^1-n
证明：（2）∵cn=an2•bn=n²2^5-n
∴C_n+1-C_n=（n+1）²2^4-n-n²2^5-n=2^4-n[-（n-1）²+2]
当n＜3时，C_n+1-C_n＞0
当n≥3时，C_n+1-C_n＜0
即当且仅当n≥3时，c_n+1＜c_n．

点评：本题考查的知识点是数列与不等式的综合，数列的递推式，（1）的关键是熟练掌握求数列通项公式的方法，（2）的关键是作差C_n+1-C_n并化简．