Question

如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD．并说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

假设存在这样的点Q，连结AQ，则可证得AQ⊥DQ，设AQ＝x(x＞0)，则．，．Rt△AQD中，由勾股定理，得，即．令，则，且ｔ＞0．∴△＝．(1)当△＜0，即0＜a＜2时，方程无实根；(2)当△＝0，即a＝2时，方程有两个相等的正实根；(3)当△＞0时．即a＞2时，方程有两相异正根．综上所述，当O＜a＜2时，BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；当a＝2时，BC边上存在唯一点Q，使PQ⊥QD；当A＞2时，BC边上存在两个点Q，使PQ⊥QD．本题属于探索型题，是否存在符合条件的点，是把立体几何问题与方程等其他方面知识结合后才能得出结论．