Question

在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使

OM

•

OP

=12．
（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出直线l的普通方程，设出M的坐标，P的坐标，建立M，P两点的坐标关系，求出向量

OM

，

OP

，通过

OM

•

OP

=12，求出点P的轨迹方程；
（2）要求RP的最小值，就是求圆心到直线的距离减去半径即可．

解答：解：（1）直线ρcosθ=4在平面直角坐标系中对应的方程为x=4，
设M的坐标 （4，b），P点坐标为（x，y），
则

b

4

=

y

x

，b=

4y

x

，

OM

=（4，b），

OP

=（x，y），
∵

OM

•

OP

=12，4x+by=12，
所以4x+

4y

x

•y=12，x²-3x+y²=0这就是所求圆的方程，化为标准式为（x-

3

2

）²+y²=

9

4

；
（2）因为R为l上任意一点，（x-

3

2

）²+y²=

9

4

；
圆心坐标（

3

2

，0），半径为：

3

2

；
则圆心到直线x=4的距离为：4-

3

2

=

5

2

，
圆的半径为：

3

2

，
所以所求RP的最小值为

5

2

-

3

2

=1．

点评：本题是中档题，考查动点的轨迹方程的求法，极坐标与直角坐标方程的转化，两点之间的距离，转化为圆心到直线的距离的求法，考查计算能力，转化思想的应用．