题目内容
已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
.
（1）求双曲线的方程；（2）若以
为斜率的直线
与双曲线相交于两个不同的点
，且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的取值范围.
（1）
；（2）
.
解析试题分析：（1）先设出双曲线方程，再将焦点是，一条渐近线的方程是代入解出相关参数，即得双曲线的方程为；（2）先将直线方程设出，再与双曲线方程联立，得到的方程根的判别式
.再由根与系数的关系得出中点坐标的表达式，从而得到线段的垂直平分线的方程.将其与与两坐标轴的交点找出，由与两坐标轴围成的三角形的面积为得到
，代入根的判别式中可得到关于的不等式.
,解得
或
，从而得到的取值范围.
试题解析：（1）设双曲线的方程为
，
由题设得
解得
， 所以双曲线的方程为；
（2）解：设直线的方程为
，点
，
的坐标满足方程组
，将①式代入②式，得
，
整理得
，
此方程有两个不等实根，于是
，且
，
整理得
......③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标
满足
，
，
从而线段的垂直平分线的方程为
，
此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
，
由题设可得
，整理得，
，
将上式代入③式得
，
整理得，，解得或，
所以的取值范围是.
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.解不等式.
练习册系列答案
相关题目
的单调区间及
的取值范围；
求
.
在
处取得极大值，求实数
的值；
，求
上的最大值.
(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:
，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？
时，求函数
的单调区间;
，对定义域内任意x,均有
恒成立，求实数a的取值范围？
，
恒成立。
，
且
的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.
的值；
使不等式
成立，求实数
的取值范围；
公共定义域内的任意实数
，我们把
的值称为两函数在
（
为实常数）.
时，求函数
在
处的切线方程；
.
的单调区间；
的定义域为
，求函数
的最小值
.
，直线
与函数
的图象交于点
，与
轴交于点
，记
的面积为
.
.
的单调区间；
时，若函数
上的最大值为28，求
的取值范围.