Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=

2

，E、F分别是AB、CD的中点
（1）求证：D₁E⊥平面AB₁F；
（2）求直线AB与平面AB₁F所成的角；
（3）求二面角A-B₁F-B的大小．

Answer 1

分析：（1）根据向量间的运算可得：

.

D1F

⊥

.

AF

，

.

D1E

⊥

.

AB1

，进而根据线面垂直的判定定理可得线面垂直．
（2）由题意可得：

.

AB

=（0，2，0），并且写出平面AB₁F的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角．
（3）根据题意分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．

解答：解：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建系如图．

其中A（1，0，0），B（1，2，0），A₁（1，0，

2

），B₁（1，2，

2

），D₁（0，0，

2

），
E（1，1，0），F（0，1，0）
（1）

.

D1E

=（1，1，-

2

），

.

AF

=（-1，l，0），

.

AB1

（0，2，

2

）

.

D1F

•

.

AF

=-1+1+0=0，

.

D1E

•

.

AB1

=0+2-

2

×

2

=0，故

.

D1F

⊥

.

AF

，

.

D1E

⊥

.

AB1

即D₁E⊥AF，D₁E⊥AB_l，又AB_l∩AF=A，得D₁E⊥平面AB₁F．
（2）

.

AB

=（0，2，0），由（1）知平面AB₁F的法向量可为

D1E

=（1，1，-

2

），
设AB与平面AB₁F所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

.

D1E

，

.

AB

＞|=|

2

2×2

|=

1

2

，
故AB与平面AB₁F所成的角为30°
（3）

.

BF

=（-1，-1，0），

.

BB1

=（0，0，

2

），设平面BFB₁的法向量为

.

n

=（x，y，z），
则有-x-y=0，

2

z=0，
令x=1，则

.

n

可为（1，-l，0），
又平面AB₁F的法向量可为

.

D1E

=（1，1，-

2

），且

.

n

•

.

D1E

=1-1=0，
故

.

n

⊥

.

D1E

，即平面BFB₁⊥平面AB₁F 
所以所求二面角大小为90°

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便距离空间直角坐标系利用空间向量解决线面平行于垂直问题，以及解决空间角问题．