Question

①已知α⊥β，a⊥β，a?α；求证：a∥α．
②已知a⊥β，a∥α；求证：α⊥β．

Answer 1

证明：（1）在平面α内作直线b垂直于α与β的交线，
∵α⊥β∴b⊥β
又∵a⊥β∴a∥b
∴a∥α
（2）过直线a作平面γ，有γ∩α=b，
∵a∥α，∴a∥b
又∵a⊥β∴b⊥β
∴α⊥β．
分析：（1）在平面α内作直线b垂直于α与β的交线，由面面垂直的性质定理可得b⊥β，再结合a⊥β，根据垂直于同平面的两直线平行，可得a∥b，进而有线面平行的判定定理得到结论．
（2）过直线a作平面γ，有γ∩α=b，由线面平行的性质定理可得a∥b，再由平行线中的一条垂直一个平面另一条也垂直这个平面可得b⊥β
进而有面面垂直的判定定理得到结论．
点评：本题主要考查线面，面面平行，垂直的判定定理和性质定理的灵活运用，两者间要灵活转化，构建定理模型是关键，属中档题．