Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的前2n项之和S_2n
（2）若3（1-ka_2n）≤S_2n•a_2n对任意n∈N^*恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a_na_n+1=2ⁿ，知a_na_n-1=2^n-1，两式相比：

an+1

an-1

=2，数列{a_n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，由此能求出S_2n．
（2）由3（1-ka_2n）≤S_2n•a_2n对任意n∈N^*恒成立，知3（1-ka_2n）≤3（2ⁿ-1）a_2n，再由a_2n=2ⁿ，k≥

1-(2n-1)a2n

a2n

=

1

2n

-2n+1，由F（n）=

1

2n

-2n+1单调递减能求出k的最小值．

解答：解：（1）∵a_na_n+1=2ⁿ，
∴a_na_n-1=2^n-1，
两式相比：

an+1

an-1

=2，
∴数列{a_n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，
∵

a1=1， a   n an+1=2n(n∈N*

）
∴a₁=1，a₂=2，
∴S_2n=

1×(1-2n)

1-2

+

2×(1-2n)

1-2

=3×2ⁿ-3．
（2）∵3（1-ka_2n）≤S_2n•a_2n对任意n∈N^*恒成立，
∴3（1-ka_2n）≤3（2ⁿ-1）a_2n，
∵a_2n=2ⁿ，
∴k≥

1-(2n-1)a2n

a2n

=

1

2n

-2n+1，
F（n）=

1

2n

-2n+1单调递减，所以n=1时F（1）=-

1

2

，
∴K≥-

1

2

，
故k的最小值是-

1

2

．

点评：本题首考查数列与不等式的综合，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．