题目内容
(本题满分14分)数列
满足
．
（1）求数列{
}的通项公式；（2）设数列{}的前
项和为
，证明
．
（1）
解析:
(1)方法一：∵
，∴
． --3分
∴
是首项为
，公差为
的等差数列．-4分∴
，所以
．6分
方法二：
，
，
，猜测． -----2分
下用数学归纳法进行证明．
①当
时，由题目已知可知
，命题成立； --------------3分
②假设当
(
)时成立，即
，那么
当
，
，也就是说，当时命题也成立． ----5分
综上所述，数列
的通项公式为． ---6分
（2） 设
则
--------8分
∴函数
为
上的减函数，∴
，即
从而 
-----10分
----------11分
---13分
∴
----------14分
中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
是位于这个三角形数表中从上往下数第
行、从左往右数第
个数．
，求
的值；
，求证
．（本题满分14分）
层，总开发费用为
万元，求函数(本题满分14分) 某中学为了解学生的睡眠情况与学习效率的关系，从中抽取20名学生作为样本进行调查.调查的数据整理分组如下表示：
|
睡眠时间（单位：小时） |
|
|
|
|
|
|
|
频 数 |
1 |
3 |
|
6 |
4 |
|
|
频 率 |
|
|
0．20 |
|
|
|
（1）将以上表格补充完整，
（2）在给定的坐标系内画出样本的频率分布直方图；
（3）为了比较睡眠情况与学习效率的关系，现从睡眠时间在
与
个小时的学生中抽取2人，问能在这两个睡眠时间内各抽到1个学生的概率是多少？
（本题满分14分）
某校高三的某次数学测试中，对其中100名学生的成绩进行分析，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
|
组号 |
分组 |
频数 |
频率 |
|
第1组 |
|
15 |
① |
|
第2组 |
|
② |
0.35 |
|
第3组 |
|
20 |
0.20 |
|
第4组 |
|
20 |
0.20 |
|
第5组 |
|
10 |
0.10 |
|
合计 |
|
100 |
1.00 |
（1）求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（2）为了选拔出最优秀的学生参加即将举行的数学竞赛，学校决定在成绩较高的第3、4、5组中分层抽样取5名学生，则第4、5组每组各抽取多少名学生？
（3）为了了解学生的学习情况，学校又在这5名学生当中随机抽取2名进行访谈，求第4组中至少有一名学生被抽到的概率是多少？