Question

已知函数．

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值。

Answer 1

（2）因为在区间上为增函数，

    所以在区间上恒成立．

    ①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意．

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，

所以上恒成立．   

令，其对称轴为，        

（3）若时，方程可化为，．

    问题转化为在上有解，

    即求函数的值域．          

以下给出两种求函数值域的方法：

方法1：因为，令，

    则                    ，           

    所以当，从而上为增函数，

当，从而上为减函数，           

    因此．

    而，故，

    因此当时，取得最大值0．               ，所以上单调递减；

      当，所以上单调递增；

      当上单调递减；

    又因为，

    当，则，又．

    因此当时，取得最大值0．