Question

已知p：∀x∈R,2x＞m(x²＋1)，q：∃x₀∈R，＋2x₀－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

－2≤m＜－1.

【解析】

试题分析：2x＞m(x²＋1) 可化为mx²－2x＋m＜0.

所以若p：∀x∈R, 2x＞m(x²＋1)为真，

则mx²－2x＋m＜0对任意的x∈R恒成立．

由此可得m的取值范围.

若q：∃x₀∈R，＋2x₀－m－1＝0为真，

则方程x²＋2x－m－1＝0有实根，由此可得m的取值范围.

p∧q为真，则p、q 均为真命题，取m的公共部分便得m的取值范围.

试题解析：2x＞m(x²＋1) 可化为mx²－2x＋m＜0.

若p：∀x∈R, 2x＞m(x²＋1)为真，

则mx²－2x＋m＜0对任意的x∈R恒成立．

当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立；

当m≠0时，有m＜0，Δ= 4－4m²＜0，∴m＜－1.

若q：∃x₀∈R，＋2x₀－m－1＝0为真，

则方程x²＋2x－m－1＝0有实根，

∴Δ=4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.

又p∧q为真，故p、q 均为真命题．

∴m＜－1且m≥－2，∴－2≤m＜－1.

考点：1、全称命题与特称命题；2、逻辑连结词.