题目内容
（2013•郑州一模）已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，
•
=0，cos∠F1AF2=
，|
|=2，过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）线段OF2上是否存在点M（m，0），使得
•
=
•
，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AF1 |
| F1F2 |
| 3 |
| 5 |
| F1F2 |
（I）求椭圆C的方程；
（II）线段OF2上是否存在点M（m，0），使得
| QP |
| MP |
| PQ |
| MQ |
分析：（I）易知△AF1F2为Rt△，由cos∠F1AF2=
及|
|=2可求得|
|=
，|
|=
，由椭圆定义可求得a，由b2=a2-c2可求得b；
（II）设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线方程为y=k（x-1）（k≠0），由
•
=
•
，可得
•(
+
)=2
•
=0，即PQ⊥MN，故kMN=-
①，联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可表示出N点坐标，代入①可得m，k的关系式，分离出m利用基本不等式即可求得m的取值范围；
| 3 |
| 5 |
| F1F2 |
| AF1 |
| 3 |
| 2 |
| AF2 |
| 5 |
| 2 |
（II）设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线方程为y=k（x-1）（k≠0），由
| QP |
| MP |
| PQ |
| MQ |
| PQ |
| MQ |
| MP |
| PQ |
| MN |
| 1 |
| k |
解答：解：（Ⅰ）由题意∠AF1F2=90°，cos∠F1AF2=
，
又|
|=2，
所以|
|=
，|
|=
，2a=|
|+|
|=4，
所以a=2，c=1，b2=a2-c2=3，即所求椭圆方程为
+
=1．
（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的斜率为k（k≠0），
又F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由
消y得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
由韦达定理得x1+x2=
，故x0=
=
，
又点N在直线PQ上，所以N(
，
)．
由
•
=
•
，可得
•(
+
)=2
•
=0，即PQ⊥MN，
所以kMN=
=-
，整理得m=
=
∈(0，
)，
所以在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，
)．
| 3 |
| 5 |
又|
| F1F2 |
所以|
| AF1 |
| 3 |
| 2 |
| AF2 |
| 5 |
| 2 |
| AF1 |
| AF2 |
所以a=2，c=1，b2=a2-c2=3，即所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的斜率为k（k≠0），
又F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由
|
由韦达定理得x1+x2=
| 8k2 |
| 4k2+3 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 4k2 |
| 4k2+3 |
又点N在直线PQ上，所以N(
| 4k2 |
| 4k2+3 |
| -3k |
| 4k2+3 |
由
| QP |
| MP |
| PQ |
| MQ |
| PQ |
| MQ |
| MP |
| PQ |
| MN |
所以kMN=
0+
| ||
m-
|
| 1 |
| k |
| k2 |
| 4k2+3 |
| 1 | ||
4+
|
| 1 |
| 4 |
所以在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查向量的数量积运算，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，难度较大．
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