Question

已知双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦点，且经过点（

15

，4）．
（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（2）求此双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的坐标方程及其性质即可得出．
（2）设双曲线方程为

y2

m

-

x2

9-m

=1，把点(

15

，4)代入双曲线方程，即可得出．

解答：解：（1）由题意得：a²=36，b²=27．
∵c²=a²-b²=9，
∴a=6，c=3，e=

c

a

=

1

2

．
∴焦点F₁（0，-3），F₂（0，3）．
（2）设双曲线方程为

y2

m

-

x2

9-m

=1，
∵点(

15

，4)在曲线上，代入双曲线的方程可得m=4或m=36（舍）．
∴双曲线的方程为

y2

4

-

x2

5

=1．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．