Question

在直角坐标系xOy中，椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂．其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF2|=

5

3

（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C₁交于不同的两点E，F．E在DF之间，试求△ODE 与△ODF面积之比的取值范围．（O为坐标原点）

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意知F₂（1，0），设M（x₁，y₁）．由抛物线定义得1+x1=

5

3

，即x1=

2

3

．由此能够求出C₁的方程．
（Ⅱ）设l的方程为x=sy+4，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3s²+4）y²+24sy+36=0，由△＞0，解得s²＞4．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），再结合韦达定理能够导出△ODE与△ODF面积之比的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）依题意知F₂（1，0），设M（x₁，y₁）．由抛物线定义得1+x1=

5

3

，即x1=

2

3

．
将x1=

2

3

代入抛物线方程得y1=

2 6

3

（2分），进而由

( 2 3 )2

a2

+

( 2 6 3 )2

b2

=1及a²-b²=1解得a²=4，b²=3．故C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（Ⅱ）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=sy+4代入

x2

4

+

y2

3

=1，整理得（3s²+4）y²+24sy+36=0（6分）
由△＞0，解得s²＞4．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则

y1+y2= -24s 3s2+4 y1• y2= 36 3s2+4

，（1）（8分）
令λ=

S△ODE

S△ODF

=

1 2 |OD|•|y 1|

1 2 |OD|•|y2|

=

y1

y2

且0＜λ＜1．将y₁=λy₂代入（1）得

(λ+1)y2= -24s 3s2+4 λ y 2 2 = 36 3s2+4

消去y₂得

(λ+1)2

λ

=

16s2

3s2+4

（10分）即s2=

4(λ+1)2

10λ-3λ2-3

＞4，即3λ²-10λ+3＜0解得

1

3

＜λ＜3．∵0＜λ＜1故△ODE与△ODF面积之比的取值范围为

1

3

＜λ＜1（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法和求△ODE与△ODF面积之比的取值范围．解题时要认真审题，注意培养直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．