Question

（本题满分12分）设函数（R）.

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）当时，对于任意正整数n，在区间上总存在m+4个数使得

成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由.

Answer 1

（本题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.

当时， ，.

令，解得.

当时，；当时， .

又，

所以的极小值为，无极大值 ．…………………………（3分）

（Ⅱ）

 ．　

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 ．

若，

①当时，，

令，得或；

令，得.

②当时，.

③当时，得，

令，得或；

令，得.

综上所述，当时，的递减区间为，递增区间为.　

当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，递减区间为.当时，的递减区间为，递增区间为.　        …………………………（8分）

（Ⅲ）当时，，

由，知时， ．， .

依题意得： 对一切正整数成立．　……………（10分）

令 ，则（当且仅当时取等号）.

又在区间单调递增，得，

故，又为正整数，得，

当时，存在，，

对所有满足条件.

所以，正整数的最大值为32．　　　　…………………………………（12分）