Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-b）cosC=c•cosB，△ABC面积S=10

3

，c=7．
（1）求C；
（2）求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用余弦定理化简整理后得到一个关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将sinC及已知面积代入取出ab的值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形求出a+b的值，联立即可求出a与b的值．

解答：解：（1）∵（2a-b）cosC=c•cosB，
由余弦定理（2a-b）•

a2+b2-c2

2ab

=c•

a2+c2-b2

2ac

，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵在三角形中，C∈（0，π），∴C=

π

3

；
（2）由S=

1

2

absinC=10

3

，sinC=

3

2

，得ab=40，①
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：c²=49=（a+b）²-3ab=（a+b）²-120，即a+b=13，②
联立①②解得：a=5，b=8或a=8，b=5．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．