Question

已知正项等比数列{a_n}满足S₈=17S₄，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a1，则

1

m

+

1

n

的最小值是（　　）

A． 1 9

B． 1 3

C． 2 3

D． 1 2

Answer 1

经验证q=1不成立，∴q＞0且q≠1．
∵S₈=17S₄，∴

a1(q8-1)

q-1

=

17a1(q4-1)

q-1

，化为q⁸-17q⁴+16=0，解得q⁴=1或16．
又q＞0且q≠1，∴q=2．
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a1，∴

a1qm-1×a1qn-1

=4a₁，m+n=6．
∴

1

m

+

1

n

=

1

6

×(m+n)(

1

m

+

1

n

)=

1

6

×(2+

m

n

+

n

m

)≥

1

6

×(2+2

m n × n m

)=

2

3

，当且仅当

m

n

=

n

m

，即m=n时取等号．
则

1

m

+

1

n

的最小值是

2

3

．
故选C．