Question

∫

3 1

(

4-(x-2)2

+3)dx=

2

3

π+

3

+6

．

Answer 1

分析：由于

∫

3 1

(

4-(x-2)2

+3)dx=

∫

3 1

4-(x-2)2

dx+

∫

3 1

3dx．前半部分由积分的几何意义求解较好，其几何意义是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积．

解答：解：由于

∫

3 1

(

4-(x-2)2

+3)dx=

∫

3 1

4-(x-2)2

dx+

∫

3 1

3dx．
其中

∫

3 1

4-(x-2)2

dx值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．
故其值是S_△ACQ+S_扇形ABQ+S_△BDQ=

1

2

×1×

3

+

1

6

×22×π+

1

2

×1×

3

=

3π

3

+

3

，
又

∫

3 1

3dx=6，
∴

∫

3 1

(

4-(x-2)2

+3)dx=

2

3

π+

3

+6．
故答案为：

2

3

π+

3

+6．

点评：本题考查求定积分，解题的关键是掌握住求定积分的公式以及定积分的几何意义，对于有些原函数不易求出的积分的求解，用其几何意义比较方便．